Impuls

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Dieser Artikel beschreibt die physikalische Größe des Impulses. Für weitere Bedeutungen siehe Impuls (Begriffsklärung).

Vorlage:Infobox Physikalische Größe

Der Impuls ist eine vektorielle physikalische Größe, die einem sich bewegenden Massenpunkt zugeordnet werden kann. Jeder bewegte Körper trägt einen Impuls, den er bei Stößen oder durch andere Wechselwirkungen (d. h. Kräfte zwischen den Körpern) ganz oder teilweise auf andere Körper übertragen kann.

In der klassischen Mechanik ist der Impuls als Erhaltungsgröße von zentraler Bedeutung etwa zur Beschreibung von Stößen.

Inhaltsverzeichnis

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Definition und Bedeutung

Der Impuls \vec{p} eines Massenpunktes ist definiert als das Produkt aus seiner Masse m und seiner Geschwindigkeit \vec{v}

\vec p = m \cdot \vec v

Impuls und Geschwindigkeit sind dabei Vektoren, also richtungsbehaftet. Der Impuls ist also eine Größe, die die Translationsbewegungen eines Körpers charakterisiert. Die entsprechende Größe für die Rotationsbewegung ist der Drehimpuls.

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Maßeinheit

Die Einheit des Impulses im SI ist kg m/s = Ns, sie besitzt im SI keinen eigenständigen Einheitennamen. Manche Autoren behandeln den Impuls aus didaktischen Gründen als grundlegende Größe und verwenden daher für die Newtonsekunde (Ns) den besonderen Namen Huygens und das Einheitenzeichen Hy.

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Gesamtimpuls

Der Gesamtimpuls \mathbf{p} eines Systems, das aus n miteinander wechselwirkenden Massen besteht, ist die Summe der einzelnen Impulse

\vec p = \sum_i^n \vec{p}_i = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \dots + \vec{p}_n,

Damit lässt sich die Summe schreiben als

\vec p = \sum_i^n m_i \vec v_i
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Impulserhaltung

Nach dem Impulserhaltungssatz ist der Gesamtimpuls in abgeschlossenen Systemen konstant, d.h. der Impuls ist eine Erhaltungsgröße. Die Impulserhaltung ist über das Noether-Theorem eine Folge der Invarianz der physikalischen Gesetze bezüglich einer räumlichen Translation, d. h. ihrer Unabhängigkeit von der Stelle im Raum. Die Erhaltung des Impulses ist von der Erhaltung der Energie unabhängig; Impulserhaltung gilt beispielsweise sowohl bei elastischen als auch bei unelastischen Stößen, also auch, wenn die kinetische Energie nicht erhalten bleibt.

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Impuls und Kraft

Um den Impuls eines Körpers zu ändern, muss eine Kraft \vec{F} auf den Körper wirken. Dabei ist die erforderliche Kraft gleich der Impulsänderung pro Zeit.

\vec F = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \, \vec p = \dot\vec p

Dies ist eine verallgemeinerte Form des 2. Newtonschen Axioms. Ist die Masse m während der Impulsänderung konstant, ergibt sich die bekanntere Formel

\vec F = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \, (m\vec v) = m \, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \, \vec v = m \cdot \vec a

Nichtkonstante Massen während der Impulsänderung treten beispielsweise bei der Beschleunigung von Raketen auf (siehe Raketengleichung).

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Kraftstoß

Durch Umstellung der ersten Gleichung des vorangehenden Abschnitts ergibt sich

\vec F \,\mathrm{d}t = \mathrm{d}\vec p \,,

und nach Integration

\int_{t_1}^{t_2} \vec F(t) \,\mathrm{d}t = \vec p_2 - \vec p_1 \,.

Das links stehende zeitliche Integral der Kraft wird als Kraftstoß oder Antrieb bezeichnet. Der Kraftstoß ist also gleich der Impulsänderung. Wirkt ein Kraftstoß auf einen zunächst ruhenden Körper, z. B. beim Abschlag eines Golfballes, so ist der Kraftstoß gleich dem sich daraus ergebenden Impuls des Körpers. Bei einem solchen Stoß hat die Kraft üblicherweise einen impulsförmigen Verlauf, das heißt sie steigt von null auf einen Höchstwert an und fällt dann wieder auf null ab, woraus sich der Zusammenhang zwischen den verschiedenen Bedeutungen des Begriffs „Impuls“ ergibt.

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Der kanonische Impuls

Im Hamilton-Formalismus und in der Quantenmechanik ist der Impuls die zum Ort kanonisch konjugierte Variable. Für den Fall, dass ein Magnetfeld wirkt, ist hier der kanonische Impuls zu verwenden. Dieser hat einen zusätzlichen Beitrag, der mit dem Vektorpotential \vec{A} des Magnetfeldes zusammenhängt:

\vec{p} = m \vec{v} + q\vec{A}.

Hierbei bezeichnet q die elektrische Ladung des bewegten Teilchens. In dem in der theoretischen Physik noch weit verbreiteten Gaußschen cgs-System ist in dieser Formel die Größe q durch q / c zu ersetzen.

Die (kanonischen) Impulskoordinaten aller Teilchen bilden in der Hamiltonschen Mechanik gemeinsam mit den Ortskoordinaten die Achsen des Phasenraums.

Siehe auch: Generalisierter Impuls

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Impuls in strömenden Medien

In anderen Bereichen als der Mechanik der Punktmassen, wie beispielsweise in der Strömungsmechanik, kann der Impuls nicht mehr einzelnen getrennten Teilchen zugeordnet werden. Bei der theoretischen Beschreibung des flüssigen Mediums als Kontinuum wird ein mikroskopisches Volumselement der Dichte ρ betrachtet und der Impuls durch die Impulsdichte \rho \vec{v} ersetzt. Das zweite Newtonsche Axiom nimmt dann die Form einer partiellen Differentialgleichung an:

\frac{ \partial (\rho \vec{v}) }{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec{v}\ \vec{v}) = \nabla \cdot T - \nabla p + \vec{f}

Hier ist der erste Term auf der linken Seite die Änderung der Impulsdichte mit der Zeit und der zweite Term beschreibt (im Fall konstanter Dichte) die Änderung der Strömungsrichtung an einem Punkt. Die Terme auf der rechten Seite sind die auf das Volumenelement wirkenden Kräfte; es ist T der Spannungstensor (darin sind die viskosen Kräfte enthalten), p der Druck, und \vec{f} bezeichnet Volumenkräfte, beispielsweise die Gravitation (\vec{f}_{\mathrm{Gravitation}}=-\rho \vec{g}).

Siehe auch: Navier-Stokes-Gleichungen

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Impuls in der Relativitätstheorie

In der speziellen Relativitätstheorie ist der Impuls eines Teilchens durch

\vec{p}=\frac{m_0 \, \vec{v}}{\sqrt{1- \left (\frac{v}{c} \right )^2}}

gegeben; m0 bezeichnet dabei die Ruhemasse. Der Impuls steigt also bei Annäherung an die Lichtgeschwindigkeit c immer mehr an, auch wenn sich die Geschwindigkeit nur mehr wenig ändert. Dies wird manchmal durch die Einführung einer "relativistischen Masse", die bei Annäherung an die Lichtgeschwindigkeit steigt, beschrieben.

Der Impuls des Photons, das keine Ruhemasse hat, lässt sich aus seiner Energie E gemäß

p_\mathrm{Photon}= \frac{E}{c}

errechnen.

In einer allgemeineren Betrachtung bilden die drei Vektorkomponenten des Impulses zusammen mit der Energie den Viererimpuls

p^\mu=\begin{pmatrix} E/c \\ \vec p \end{pmatrix}

Der Impulstransport bildet zusammen mit der Energiedichte und dem Energiefluss in der Relativitätstheorie den Energie-Impuls-Tensor.

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Impuls in der Quantenmechanik

In der Quantenmechanik ersetzt der Impulsoperator den Impuls der klassischen Mechanik. Daher ist der Impuls im Allgemeinen keine eindeutige Zahl, sondern es kann nur mehr die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, dass ein Teilchen einen bestimmten Impuls hat. Für Impuls und Ort gilt die Heisenbergsche Unschärferelation, es kann also ein Teilchen nicht zugleich einen wohldefinierten Impuls und einen wohldefinierten Aufenthaltsort haben.

Eigenzustände des Impulsoperators sind ebene Wellen im Ortsraum mit der Wellenlänge

\lambda=\frac{h}{p} ,

wobei h das Plancksche Wirkungsquantum ist. Die De-Broglie-Wellenlänge λ von Materiewellen freier Teilchen ist also durch den Impuls bestimmt.

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Siehe auch

Von „http://www.johannes-kraemer.de/wiki171/index.php/Impuls“
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